Penggunaan Matematik Dalam Kriptografi (Encryption)

Penggunaan Matematik Dalam Kriptografi

Kriptografi(encryption) merupakan salah satu bidang matematik gunaan yang berkaitan dengan pengembangan skema dan formula untuk meningkatkan kerahsiaan komunikasi melalui penggunaan kod.

Bidang kajian penulisan mesej rahsia ini dinamakan kriptologi sementara seni sains yang merekabentuk penulisan mesej rahsia ini dikenali sebagai kriptografi

Sejarah kriptografi

Sejak zaman dahulu, kriptografi membolehkan kerajaan, tentera, perniagaan, atau individu, untuk menjaga privasi dan kerahsiaan dalam komunikasi mereka. Kriptografi memainkan peranan yang penting semasa Perang Dunia Kedua. Peristiwa penyahkod yang paling penting dalam perang ini adalah penyahkod saifer “Enigma” Jerman yang berjaya dilakukan oleh Tentera Bersekutu. Alan Turing memainkan peranan penting untuk menyahkod  saifer “Enigma”. Kisah Alan Turing diceritakan dalam filem “The Imitation Game” lakonan Benedict Cumberbatch. Anda semua kena lihat cerita ini.

Matlamat setiap kriptografi adalah “bukti retak”(crack proof) yang bermaksud hanya penerima yang dituju dapat menyahkod dan memahami mesej yang ingin disampaikan. Kriptografi juga merupakan kaedah untuk memastikan integriti dan pemeliharaan data dari sebarang gangguan.

Perkembangan terkini sistem komunikasi meningkatkan lagi penggunaannya terutamanya dalam bidang kewangan dan pertahanan. Sistem kriptografi moden bergantung pada fungsi yang berkaitan dengan matematik moden, termasuk cabang khusus matematik yang disebut teori nombor yang meneroka sifat nombor dan hubungan antara nombor.

Melalui penggunaan konsep dalam Teori Nombor, beberapa kaedah kriptografi telah dapat dibangunkan oleh pengkaji-pengkaji terdahulu dan kaedah pengungkapan mesej ini telah ditingkatkan mutu keselamatannya dari semasa ke semasa. Beberapa konsep penting dalam teori nombor akan dibincangkan untuk memberikan lebih kefahaman kepada pembaca.

Konsep penting dalam Teori Nombor

Nombor Perdana : Nombor bulat positif dikenali sebagai nombor perdana jika ia hanya mempunyai dua faktor iaitu 1 dan nombor itu sendiri.

Contoh nombor perdana adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…

Pembahagi: Nombor bulat positif a dikatakan membahagi nombor bulat b jika terdapat nombor bulat c yang boleh ditulis sebagai  b = ac dan ditulis sebagai a | b.

Contoh 2 | 10 sebagai 10 = 2.5 tetapi 3 tidak boleh membahagi 10 kerana tidak ada nombor bulat c yang memenuhi 10 = 3c

Kongruen: Jika a dan b sebagai dua nombor bulat dan m adalah nombor bulat positif maka a dikatakan sepadan dengan b modulo m jika m membahagi perbezaan a dan b iaitu m | a – b

Kebiasannya ia ditulis dalam bentuk .

Contohnya:  

yang bermaksud apabila 23 bahagi 5, bakinya adalah 3.

Antara contoh penggunaan kongruen dalam kehidupan seharian ialah dalam sistem masa yang kita gunakan. Kita menggunakan konsep kongruen apabila kita ingin menukarkan waktu dalam sistem 24 jam kepada sistem 12 jam. Sebagai contoh, jika kita ingin mengetahui apakah waktu 20:00 dalam sistem 12 jam, kita bahagikan 20 dengan 12 dan kita dapat baki 8 jam. Disebabkan 20 adalah lagi besar daripada 12, jadi 20:00 adalah pukul 8 malam.

Dalam format matematik, kita boleh tulis dalam bentuk .

Saifer Caesar

Sebelum perbincangan lebih lanjut diteruskan, beberapa istilah akan diterangkan :

  1. Teks asal – mesej asal yang belum diubah daripada penghantar.
  2. Teks saifer – mesej rahsia yang telah diubah.
  3. Kunci pengkriptan – kunci yang digunakan semasa proses pengkriptan bagi menukarkan teks asal kepada teks saifer.
  4. Kunci penghurai – kunci yang digunakan semasa proses penghuraian bagi menukarkan teks saifer kepada teks asal.

Konsep kriptografi berasaskan kongruen paling awal digunakan oleh maharaja Rom yang terkenal iaitu Julius Caesar sekitar tahun 50 (SM). Caesar menulis surat kepada Marcus Cicero menggunakan saifer penggantian dasar di mana setiap huruf abjad  digantikan oleh huruf yang terdapat tiga tempat di bawah abjad (Rujuk jadual dibawah). Saifer ini dikenali sebagai saifer Caesar.

Huruf AsalABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Huruf digantiDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC

                                                            Jadual 1

Sebagai contoh, ucapan SELAMAT HARI RAYA bila ditukarkan akan menjadi VHODPDW KDUL UDBD. Dengan bantuan teori kongruen, saifer Caesar dapat digambarkan dengan mudah. Pada permulaan, teks tersebut akan ditukar ke dalam bentuk nombor dengan merujuk jadual berikut :

HurufABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Nombor012345678910111213141516171819202122232425

Jadual 2

Sekarang, namakan A sebagai teks asal dan S sebagai teks saifer, kita akan dapat .

Formula ini dikenali sebagai kunci pengkriptan. A ditambah 3 kerana pada Jadual 1 diatas, setiap huruf telah dialih sebanyak 3 huruf.


TEKS ASAL KEPADA TEKS SAIFER

1. Contoh, ucapan SELAMAT HARI RAYA bila ditukarkan kepada bentuk digit akan menjadi 18411012019 70178 170240.

SELAMAT HARI RAYA => 18411012019 70178 170240

2. Kemudian, kita akan menggunakan saifer Caesar dimana setiap nombor akan ditambah 3 lalu menjadi :

21714315322 1032011 203273

3. Seterusnya, tukarkan nombor di atas kedalam bentuk huruf untuk melengkapkan prosedur.

21714315322 1032011 203273 =>VHODPDW KDUL UDBD


TEKS SAIFER KEPADA TEKS ASAL

1. Untuk mendapatkan teks asal, Fomula perlu ditukar menjadi

Formula di atas dikenali sebagai kunci penghurai.

2. Sebagai contoh, kita akan gunakan PDDI CDKLU EDWLQ sebagai teks yang telah disaifer.

3. Kemudian tukarkan teks kepada digit dahulu.

PDDI CDKLU EDWLQ =>15338 23101120 43221116

4. Seterusnya, setiap nombor akan ditolak 3 untuk mendapatkan digit bagi teks asal.

12005 2607817 1019813

5. Dengan merujuk kepada jadual 2, kita akan mendapat teks asal iaitu MAAF ZAHIR BATIN.


Jadi, sekiranya anda ingin memberikan ucapan hari raya kepada sanak saudara ataupun kenalan anda, anda boleh menggunakan kaedah saifer Caesar jika anda inginkan kelainan pada hari raya kali ini. Anda cuma perlu memberikan teks VHODPDW KDUL UDBD dan PDDI CDKLU EDWLQ. Jangan lupa untuk memberikan kunci penghurai sekali!

Kesimpulannya, konsep teori nombor sudah lama digunakan dalam bidang kriptografi. Namun begitu, konsep saifer Caesar sudah tidak menjadi pilihan dalam bidang kriptografi kerana ia mempunyai banyak kelemahan. Antara kelemahan yang ketara ialah ia hanya mampu menangani beberapa huruf. Oleh sebab itu, banyak kaedah kriptografi lain yang diperkenalkan seperti kaedah Rivest–Shamir–Adleman(RSA), kriptografi lengkungan elips (elliptic curves cryptography) dan sebagainya yang menggunakan kaedah matematik aras tinggi yang sukar difahami.

Rujukan

  1. Neal Koblitz, A course in Number Theory and Cryptography, New York: Springer Verlag,1994

1 thought on “Penggunaan Matematik Dalam Kriptografi (Encryption)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.