Berapa Banyak Pembuktian Teorem Pythagoras yang Wujud?

theorem pythagoras

Semasa di bangku sekolah, pasti anda pernah mempelajari Teorem Pythagoras, bukan? Tahukah anda yang Teorem Pythagoras merupakan teorem matematik yang mempunyai paling banyak pembuktian iaitu sebanyak 371 versi. Albert Einstein berjaya memberikan salah satu bukti untuk teorem ini semasa beliau baru berusia 12 tahun!

Teorem Pythagoras merupakan teorem geometri yang sangat terkenal. Menurut teorem ini, kuasa dua bagi hipotenus segi tiga bersudut tegak(bersudut 90 darjah) adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua bagi dua sisi lain atau boleh ditulis dalam bentuk a2+b2=c2 di mana c merupakan hipotenus manakala a,b merupakan sisi yang lain. Antara contoh ialah 32+42=52, 52+122=132 dan 72+242=252

Teorem Pythagoras (sumber:mathblog.com)

Sejarah Teorem Pythagoras

Teorem Pythagoras merupakan  salah satu teorem awal yang diketahui oleh peradaban kuno. Ia dinamakan bersempena Pythagoras, ahli matematik dan ahli falsafah Yunani yang dipercayai menjadi orang pertama yang membuktikan teorem tersebut. Teorem itu diletakkan namanya walaupun terbukti bahawa tamadun Babylon mengetahui teorem ini kira-kira 1000 tahun sebelum Pythagoras. Plimpton 322, tablet matematik Babylon yang berasal dari tahun 1900 SM mengandungi maklumat mengenai Teorem Pythagoras. Chou-pei, teks kuno Cina, juga membuktikan bahawa orang Cina mengetahui tentang Teorem Pythagoras bertahun-tahun lamanya sebelum Pythagoras.

Pythagoras hidup pada abad keenam atau kelima SM. Dia mendirikan Sekolah Pythagoras di Crotona. Sekolah ini merupakan akademi untuk pengajian matematik, falsafah, dan sains semula jadi. Pythagoras dan anak-anak muridnya dikreditkan dengan banyak sumbangan untuk matematik. Walaupun Pythagoras terkenal hari ini kerana penemuannya dalam bidang matematik, sejarawan klasik mempertikaikan sama ada beliau sendiri pernah memberikan sumbangan penting kepada bidang matematik.

Membuktikan Formula Theorem Pythagoras

Banyak pembuktian telah diberikan kepada teorem ini yang mana besar kemungkinan ia merupakan teorem matematik yang mempunyai paling banyak pembuktian. Dalam buku The Pythagorean Proposition, Elisha Scott Loomis (1852–1940) menyenaraikan sebanyak 371 bukti untuk Teorem Pythagoras! Pelbagai teknik digunakan untuk membuktikan teorem ini, termasuk pembuktian secara geometri dan aljabar, dengan beberapa bukti wujud sejak ribuan tahun yang lalu. Salah satu pembuktian yang paling terkenal dikreditkan kepada Pythagoras sendiri. Kita akan membincangkan beberapa versi pembuktian Teorem Phytagoras.

1. Pembuktian pertama ini merupakan antara versi yang paling senang untuk difahami.

Pertama, kita mulakan dengan empat segi tiga tepat yang mempunyai luas ab/2. Kemudian, kita pusingkan tiga segi tiga tersebut dengan satu segi tiga kepada 90o, 180o dan 270o

Sumber : cut-the-knot.org

Gabungkan kesemua segi tiga tadi lalu membentuk segi empat sama. Pusingkan segi empat sama tadi dan akan terbentuk satu segi empat yang kecil ditengah-tengah segi empat sama besar.

Sumber : cut-the-knot.org

Segi empat sama yang besar mempunyai segi empat sama kecil yang mempunyai sisi (a-b) manakala luasnya adalah (a-b)2. Disebabkan kita mempunyai empat segi tiga tepat yang berkeluasan sama, jadi kita memperoleh 4(ab/2)=2a. Tambah kesemua keluasan tersebut lalu kita akan mendapat:

= (a – b)² + 2ab
 = a² – 2ab + b² + 2ab
 = a² + b²

2. Pembuktian kedua menggunakan konsep susunan semula.

Jika kita mempunyai empat segi tiga tepat yang mempunyai luas yang sama, kita dapat menyusunnya dalam dua jenis bentuk seperti gambar dibawah.

Sumber :jwilson.coe.uga.edu

Dalam rajah di atas, kita dapat lihat yang susunan sebelah kiri menghasilkan kawasan segi empat sama yang mempunyai sisi c manakala pada sebelah kanan, kita mendapat dua jenis segi empat sama iaitu segi empat sama yang mempunyai sisi a dan segi empat sama sisi b.

Dua segi empat besar yang ditunjukkan dalam rajah diatas mempunyai empat segi tiga tepat yang sama, dan satu-satunya perbezaan antara dua segi empat besar ialah cara susunan segi tiga yang berbeza. Oleh itu, ruang putih di dalam setiap dua segi empat besar mesti mempunyai luas yang sama. Apabila kita menyamakan luas ruang putih dalam kedua-dua segi empat besar, ia akan menghasilkan teorem Pythagoras iaitu a2+b2=c2.

Teorem Terakhir Fermat

Mungkin ada dikalangan anda yang tertanya-tanya jika terdapat nombor yang memenuhi persamaan a2+b2=c2., adakah terdapat penyelesaian apabila kuasa dua ditukar kepada kuasa tiga, empat dan keatas iaitu a3+b3=c3 atau a4+b4=c4.? Jawapannya adalah tidak dan masalah ini dikenali sebagai Teorem Terakhir Fermat (Fermat’s Last Theorem). Pada kurun ke-17, Pierre de Fermat (1601–1665) menyatakan yang tiada penyelesaian untuk integer positif (positive integers) untuk persamaan an+bn=cn. apabila n=3 dan ke atas.

Namun begitu, beliau tidak memberikan sebarang bukti kepada dakwaan beliau tersebut. Jika Teorem Pythagoras mempunyai terlalu banyak pembuktian, Teorem Terakhir Fermat pula terlalu sukar untuk dibuktikan.

Akhirnya, Teorem Terakhir Fermat dibuktikan selepas 350 tahun oleh Sir Andrew Wiles, seorang ahli matematik Inggeris pada tahun 1994. Beliau mengambil masa selama hampir 8 tahun untuk membuktikan Teorem Terakhir Fermat dengan menggunakan kaedah yang sangat sukar. Terdapat sebuah dokumentari yang bertajuk The Proof terbitan BBC yang menceritakan pencapaian Sir Andrew Wiles.

Kesimpulan

Sebagai kesimpulan, Teorem Pythagoras merupakan satu topik matematik yang sangat menarik. Kita dapat lihat yang Teorem Pythagoras mempunyai sangat banyak pembuktian. Sebagai cabaran, cuba anda buktikan Teorem Pythagoras dengan menggunakan kaedah anda sendiri. Selamat berjaya!

Rujukan

  1. Menyelesaikan teorem terakhir fermat – Majalah Sains
  2. Pythagorean Theorem by Angie Head
  3. Pythagorean Theorem – Mathworld

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.