Makhluk asing yang bina piramid? Ada yang mengatakan sebegitu kerana merasakan piramid sangat hebat pembinaannya dan tak mungkin masyarakat zaman Mesir Kuno dengan tahap ilmu mereka membina struktur sehebat itu. Masyarakat Mesir Kuno hidup 600 tahun sebelum masihi, lama sebelum kelahiran Pythagoras tetapi para pengkaji sejarah yakin bahawa mereka sekurang-kurangnya tahu cara menggunakan teorem ini.

Untuk membina piramid, batunya perlu dilombong dari kuari dan kemudiannya diukir menjadi bongkah segiempat tepat yang mesti boleh disusun dengan bongkah-bongkah lain untuk membentuk piramid. Antara perkara paling penting adalah bongkah-bongkah ini mesti bersudut tepat, para pengukir zaman Mesir Kuno menggunakan teorem Pythagoras ke atas setiap satu bongkah ini untuk memastikan ketepatannya.

Setiap muka bongkah tersebut perlu diukur menjadi suatu segiempat yang setiap sudutnya adalah 90 darjah (sudut tepat). Sekarang bayangkan jika kita bahagikan segiempat tepat ini kepada dua bahagian dengan memotong di pepenjurunya (diagonal) maka kita akan dapat dua segitiga bersudut tepat. Jika sudut tepat segitiga ini dapat dijamin maka ketepatan segiempat dan sudut 90 darjah bongkah tersebut dapat dijamin.

Menurut teorem Pythagoras, jika suatu segitiga bersudut tepat dengan sisi a,b dan c, maka a+ b= c2 dengan syarat c adalah sisi terpanjang (hipotenus) segitiga tersebut. Sekarang bayangkan pepenjuru segiempat tepat (muka bongkah piramid) itu adalah hipotenus c, maka sisi segiempat tepat tersebut adalah a dan b. Para pengukir perlu mencari nilai a dan b yang akan memberikan sudut tepat. Mereka gunakan hasil teorem Pythagoras yang paling mudah iaitu 32+ 4= 52.

Penggunaan tali (warna hijau) dengan bonjot ikatan untuk membina bongkah bersudut tepat (lukisan Azari Mat Yasir).

Jika para pengukir dapat memastikan bahawa a = 3 unit,b = 4 unit dan c = 5 unit maka sudut tepat akan terjamin bagi bongkah itu. Untuk mendapatkan unit-unit ini mereka gunakan tali dengan enam bonjot ikatan berjarak sama antara satu sama lain. Jarak diantara satu bonjot ikatan dan bonjot seterusnya di anggap satu unit. Jarak bonjot-bonjot ini boleh diubah untuk mendapatkan saiz segiempat yang berlainan. Para pengukir akan menggunakan tali ini seperti pembaris untuk membentuk bongkah tersebut.

Teorem ini benar bagi sebarang segitiga bersudut tepat. Cuba bayangkan jika ada tidak pernah tahu tentang teorem ini dan anda tengah pening kepala nak bina bongkah piramid. Kemudian, ahli matematik Mesir Kuno datang dan berikan tali berbonjot itu serta terangkan cara penggunaannya. Mungkin anda akan rasakan ianya seperti magik (atau ilmu makhluk asing). Padahal, saya belajar teorem ini di sekolah dahulu tanpa rasa kagum.

Pada masa itu juga saya juga tak sedar bahawa teorem ini boleh dibuktikan dengan mudah menggunakan aljabar geometri (algebraic geometry) dan telah digunakan dalam banyak tamadun kuno termasuklah Mesir, Mesoptomia (Babylon) dan tamadun Cina.

Bukti teorem mengunakan aljabar geometri (sumber: https://govschool2k14.weebly.com/)

Perhatikan bahawa kedua-dua segiempat sama dalam rajah di atas mempunyai luas (a+b)kerana sisinya adalah a+b. Jika kita perhatikan segiempat sama di belah kanan maka luasnya terdiri dari dua segiempat sama a2 dan b2 serta dua segiempat tepat dengan luas ab, maka (a+b)= a+ b+ 2ab. Lihat pula segiempat sama di sebelah kiri, luasnya terdiri dari satu segiempat sama cdan juga luas empat segitiga. Luas empat segitiga ini bersamaan dengan luas dua segiempat tepat ab (kerana boleh disusun semula dalam rajah: gabungkan segitiga merah dan hijau/kuning dan biru), maka (a+b)= c+2ab. Hasilnya kita dapat: (a+b)= a+ b+ 2ab= c+ 2ab ⇒ a+ b2  = c2.

Sumber dan Bacaan lanjut:

  1. The Story of Mathematics, Marcus Du Sautoy. (Dokumentari) https://www.youtube.com/watch?v=eDwFElncCxc
  2. http://www.storyofmathematics.com/egyptian.html
  3. The History of Mathematics: An Introduction, David M. Burton.
  4. https://www.cut-the-knot.org/pythagoras
  5. sumber featured image: http://follixin.info/egyptian-pyramid-architecture.html

 

Shares